Геометрия

Урок № 7-8                                                                  

Теорема косинусов.   Следствия из теоремы косинусов.

 Цели урока: доказать теорему косинусов и показать её применение при решении задач; научить

применять данную теорему при решении задач; выработать умение правильно выбрать теорему,

по которой можно решить задачу.

Ход урока

Сообщить тему урока и поставить цели.

I Повторение опорных знаний необходимых для изучения новой темы:

1. Сформулировать теорему синусов:

(Отв.: )

1. На слайде - задача на теорему синусов. Ребята в тетрадях решают ее и устно проверяют ответ.
2. После обсуждений по щелчку мыши появляется ответ.

Вопрос:

1. Вопрос: При каком условии задачи используется теорема синусов? (Отв.: Когда известна сторона и два угла в треугольнике.)

II Объяснение нового материала.

 Иногда в треугольнике известны две стороны и угол между ними, необходимо найти третью сторону, для этого нам необходимо доказать теорему косинусов.

 Поместим треугольник АВС в прямоугольную систему координат, так чтобы точка А совпала с началом координат, точка В лежала на положительной полуоси Ох, а точка С располагалась в I координатной четверти.

 Находим чему равны координаты точек А, В и С.

 Далее находим координаты векторов СВ и СА. По щелчку мыши на экране появляется ответ.

Находим длину вектора АВ.   Возводим в квадрат обе части данного равенства.   Преобразовываем получившееся равенство. Получаем окончательную формулу теоремы косинусов.  

III Закрепление материала (решение задач по готовым чертежам)

IV "Решение треугольников"

На экране задача, которую ребята решают в тетрадях.

Задача1 решается по теореме косинусов.

Вопрос: Какой угол находится в первую очередь.

(Ответ: тот, который лежит напротив большей стороны, т.е. АВ)

Решение обсуждается и записывается на доске и в тетрадях.

(АВ²=АС²+ВС²-2АС·ВCcosC

cosC =

cosC = =

т.к. cosC<0, то С-тупой, ABC-тупоугольный.)

Задача 2:

Т.к. в СDA можно найти сторону DA, а в ВDA - угол ВDA, то применяем теорему синусов:

1. BAD= BAC- DAC=a-b
2. CDA=90°- DAC= 90°-a
3. BDA=180°- CDA=180°-(90°-a)=90°+a
4. По теореме синусов:

=

=

BD =или BD =

V Итог урока

Проводится тест

1. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против: а) тупого угла
   б) прямого угла                  в) острого угла
2. В АВС известны длины сторон АВ и ВС. Чтобы найти сторону АС, необходимо знать величину: а) угла А                 б) угла В                     в) угла С
3. Треугольник со сторонами 5, 6 и 7 см:         а) остроугольный
   б) прямоугольный                       в) тупоугольный
4. Если в АВС А=48°; В=72°, то наибольшей стороной треугольника является сторона: а) АВ                         б) АС                                     в) ВС
5. Если квадрат стороны треугольника больше суммы квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:            а) острого угла
   б) прямого угла                                         в) тупого угла

Высвечиваются правильные ответы на экране, учащиеся сами проверяют свои ответы и оценивают себя.

Домашнее задание:

1. Что такое медиана треугольника?
2. Перечислите свойства медианы треугольника?
3. Что такое вектор?
4. Как вы понимаете угол между векторами?
5. Чему равно скалярное произведение векторов?
6. Запишите формулу квадрата разности двух выражений.
7. Запишите формулы нахождения площади треугольников.

 2.

3.Докажем, что m_а²=(2в+2с-а)/4 , где m_а- медиана треугольника, проведенная из вершина А к стороне а.

4. По рисунку найдите неизвестную сторону

5. Вычислите косинус большего угла треугольника АВС, если а=40, в=13, с=37