Урок №3-4 Признаки делимости на 3 и 9. Простые и составные числа. Повторение. Уравнения. Решение уравнений. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Цели урока: образовательные – актуализировать субъективный опыт учащихся (опорные знания и способы действий, комплекс знаний), необходимый для изучения нового материала; организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению знаний и способов действий.
развивающие – развивать умения учащихся применять знания на практике, способствовать развитию логического мышления, воли и самостоятельности, умения работать в парах и группах.
Девиз урока: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий».
Ребята, на наших уроках мы работаем с числами, которые составляют основу математической науки. О каких числах я говорю? Мы работаем с натуральными числами. Что нового мы узнали о натуральных числах? Мы познакомились с признаками делимости на 2, 5, 10. Где и для чего используются признаки делимости? При решении задач, для быстроты счета.
Сформулируйте признак делимости на 2. Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится на 2 без остатка.
Сколько всего цифр? 10
Сколько четных цифр? Назовите их. 5: 0, 2, 4, 6, 8
Сколько нечетных цифр? Назовите их. 5: 1, 3, 5, 7, 9
Привести пример трехзначного числа, делящегося без остатка на 5. Почему это число делится на 5? Например: 375, 420
Это число делится на 5, потому что оно оканчивается цифрой 5 или 0. Делится ли число 3468 на 10 без остатка и почему? Нет, так как оно не оканчивается на цифру 0.
У китайцев есть притча: Скажи мне – и я забуду; Покажи мне – и я запомню; Дай сделать – и я пойму.
Так давайте на уроке совместно попробуем вывести новые правила, научимся применять их при решении задач.
А сейчас ответьте на вопрос: делится ли число 36 на 3 без остатка? А на 9?
Кто хочет попробовать разделить это число на 3? Может быть, найдутся желающие разделить данное число на 9? Нам не хватит целого урока для этого.
Признаки делимости на 3 и на 9.
Задача: Выяснить, можно ли разложить 225 яблок в 3 ящика поровну? Сколько сотен, десятков и единиц в данном числе? 2 сотни, 2 десятка и 5 единиц. Если мы возьмем одну сотню и разложим в 3 корзины поровну – сколько яблок останется лишними? 1 яблоко. Значит, с каждой сотни по 1 яблоку, т.е. с 2 сотен – 2 яблока. Если мы возьмем 1 десяток и разложим в 3 корзины поровну – сколько останется лишних яблок? 1 яблоко с каждого десятка. Т.е. с наших 2 десятков – 2 яблока. И еще у нас 5 яблок. Итого не разложенными в корзины у нас остается: 2+2+5 яблок, всего 9 яблок, которые мы легко распределим по 3 корзинам. Вывод: 225 яблок можно разложить в 3 корзины.
225 яблок в 3 ящика поровну 2+2+5=9
Число 1812 162 6507 205 980 824
Сумма цифр числа 12 9 18 7 17 14
Вернемся к нашей первой задаче и проверим, делится ли число 1111111…..111 2025 штук на 3? Отсюда следует, что наше большое число тоже будет делиться на 3.
Итак, сколько признаков делимости мы знаем и какие? 5: признак делимости на 2, на 3, на 5, на 9 и на 10.
Признак делимости по последней цифре и по сумме цифр.
а) Какие цифры надо поставить вместо звездочки в запись числа, чтобы полученные числа делились на 3? *14 (114, 414, 714)
б) Какие цифры надо поставить вместо звездочки в запись числа, чтобы полученные числа делились на 9? 5*36 (5436)
75432, 2772825, 5402070
Делятся на 3: 75432 (сумма цифр 21), 2772825 (сумма цифр 33), 5402070 (сумма цифр 18).
Делятся на 9: 54002070
а) 111, 111111, 111111111 б) 666, 666666, 666666666
Числа, которые образуют “предельное” разложение чисел на множители, называются простыми. Остальные числа ( за исключением числа 1) можно получить как произведение простых чисел. Такие числа называются составными
Основная теорема арифметики: Каждое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей, или, как говорят иначе, разложить на простые множители
Итог задания: Натуральное число называется простым числом, если оно имеет только два делителя: 1 и самого себя
Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называются составными.
– Как вы думаете, сколько простых чисел существует?
Часто бывает сложно определить простое или составное число. Поэтому с древних времен математики составляли таблицы простых чисел. Интересный способ составления списка простых чисел придумал древнегреческий математик Эратосфен. Рассмотрим этот метод для нахождения простых чисел от 1 до 50. Эратосфен писал на восковых табличках специальными палочками, а составные числа выкалывал острым концом, после чего табличка напоминала решето. С тех пор его способ называется решетом Эратосфена.
Раньше нахождение простых чисел занимало много сил и времени. Первую, известную нам, таблицу простых чисел составил итальянский математик Пьетро Антонио Катальди в 1603г., она охватывала все числа от 2 до 743.
В 1770 г. немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт опубликовал таблицу наименьших делителей всех чисел, не превосходящих 102 000 и не делящихся на 2,3,5.
К середине 19 века были составлены таблицы наименьших делителей не только первого миллиона, но и следующих вплоть до девятого. В это же время в Венскую академию поступило семь больших томов рукописных таблиц “Великий канон делителей всех чисел, которые не делятся на 2,3,5 и простых чисел между ними до 100330201”. Автором этого труда был Якуб Филипп Кулик, профессор высшей математики Пражского университета.
В дальнейшем поиски простых чисел уже не носили характера массовой охоты, а превратились в поиски их отдельных представителей.
Сколько же простых чисел существует в природе, и бесконечен ли их ряд? Многие ученые пытались ответить на заданный вопрос, но точно не могли этого сказать. Первое дошедшее до нас доказательство того, что конца простым числам не существует, принадлежит Евклиду: предположим, что мы нашли самое большое простое число. Перемножим все известные простые числа и прибавим к произведению 1. Полученное число будет простым, так как при делении на любое число результат не будет целым, в остатке всегда будет 1.
Хотя самого большого простого числа не существует вообще, но самое большое из тех, что нам известны, всё же есть. В декабре 2001 года компьютер канадца Майкла Камерона, участвующий в проекте распределенных вычислений Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), обнаружил 39 число Мерсенна 2213466917-1. Такой результат был достигнут в процессе работы 130000 участников проекта, затративших в общей сложности 13000 лет машинного времени.
Натуральное число, что делится на единичку лишь и на себя! Является простым числом! Все остальные числа (кроме единички) – составные.
Повторение учебного материала за 5 класс.
1) Решение уравнения:
( 490 – х ) – 250 = 70
а + 156 = 17 ∙ 20 (1604 – у) – 108 = 800
Домашнее задание: 1.
2. 5 · а + 500 = 4500 : 5 252 : 36 ∙ х = 560 103300 : (х + 297) = 25 ∙2
3. Какие из чисел 5447, 9000, 37 035, 99 309, 420 340, 15 345, 78 644 делятся:
а) на 2; б) на 5; в) на 10; г) на 2 и на 10; (9000, 420 340)
д) на 2 и на 5; е) на 3; ж) на 9;
— Какие числа не попали ни в одну группу? — Какое число повторяется во всех группах? — В каких группах одинаковые числа? — Почему?
4. - Из следующих чисел выпишите простые числа:
225; 227; 269; 357; 367; 416; 419; 461; 477; 509; 583.
- Из следующих чисел выпишите составные числа:
431; 437; 467; 587; 667; 677; 703; 713; 739; 899; 907.
- В таблице простых чисел на форзаце учебника синим цветом выделены числа-близнецы - простые числа, между которыми в натуральном ряду находится только одно число.
а) выпишите три любые пары чисел – близнецов;
б) укажите последнюю пару чисел-близнецов первой тысячи натуральных чисел. | 
